Решение логических задач.

 

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

• средствами алгебры логики;
• табличный;
• с помощью рассуждений.

 I. Решение логических задач средствами алгебры логики

Обычно используется следующая схема решения:

1.  изучается условие задачи;

2. вводится система обозначений для логических высказываний;

3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

4. определяются значения истинности этой логической формулы;

5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

 Пример 1. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Женя. Первым будет Хилл.

— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Николай. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Петя, к которому обратился Ник, возмутился:

— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

 Решение. Введем обозначения для логических высказываний:

Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.

Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

             Женя: не Ш*Х, Николай: Ш*не А, Петя: не Х.

 Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем возможные варианты высказываний

1)      не Ш * Х = 1, Ш * не А = 1, не Х = 0

2)      не Ш * Х = 1, Ш * не А = 0, не Х = 1

3)      не Ш * Х = 0, Ш * не А = 1, не Х = 1

составим логическое выражение (при условии, что все высказывания истинны) и упростим его (при упрощении выясняется, что первые две скобки равны 0): 

истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.

Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.

Пример 2. Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

– Кто это сделал? –  спросила мама.

– Коля не бил по мячу,  – сказал Саша. –  Это сделал Ваня.

Ваня ответил:   – Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.

– Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете,   рассердилась мама.   Ну, а ты что скажешь? – спросила она Колю.

– Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, –  сказал Коля.

Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду. Кто разбил вазу?

 Решение:

1)        применим к этой задаче формальный аппарат математической логики - введем высказывания:

С: вазу разбил Саша

В: вазу разбил Ваня

К: вазу разбил Коля

 2)        запишем с помощью этих обозначений утверждения мальчиков:

       Саша: 1. не К     2. В

       Ваня:  1. К          2. не С

       Коля:  1. не В

 3)        читаем условие: «один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду»;

4)        как записать «Саша два раза солгал»? в этом случае оба его утверждения неверны,  поэтому не К = 0  и В = 0, что равносильно К * не В = 1

5)        как записать «Саша два раза сказал правду»? в этом случае оба его утверждения верны,  поэтому не К = 1 и В = 1, что равносильно не К * В = 1

6)        если Коля солгал, а Саша и Ваня сказали правду, то

не К * В = 1 и К * не С = 1 и В = 1

заменив «И» на умножение, получаем не К * В * К * не С * В = 1; учитывая, что к * не К = 0, получаем в левой части равенства ноль; так как в правой части – единица, этого не может быть при любых значениях К, С, и В (равенство ложно при любых значениях)

7)        если Ваня солгал, а Саша и Коля сказали правду, то

не К * В = 1 и не К * С = 1 и не В = 1

заменив  «И»   на   умножение,   получаем   не К * В * не К * С * С * не В = 1;   учитывая,   что  В * не В = 0, получаем, что это равенство ложно при любых значениях К, С и В (этого не может быть)

8)        остается последний возможный вариант: если Саша оба раза солгал, а Ваня и Коля сказали правду, то

К * не В = 1 и К * не С = 1 и не В = 1

заменив «И» на умножение, получаем К * не В * К * не С * не В = 1; упростив это выражение с учетом равенств К * К = К и не В * не В = не В, получим К * не В * не С = 1; то есть, при этом предположении вазу разбил Коля, а не Ваня и не Саша;

9)        таким образом, вазу разбил Коля.

 II. Решение логических задач табличным способом

При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

 Пример 3. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Бориса, Сергея и Виктора, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

1.   Сергей самый высокий;

2.   играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

3.   играющие на скрипке и флейте и Борис любят пиццу;

4.   когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Сергей мирит их;

5.   Борис не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как музыкантов трое, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

Из условия 4 следует, что Сергей не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Борис не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Борис — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями:

Из таблицы видно, что на трубе может играть только Виктор.

Из условий 1 и 2 следует, что Сергей не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Борис, ни Сергей, то скрипачом является Виктор. Оба инструмента, на которых играет Виктор, теперь определены, поэтому остальные клетки строки "Виктор" можно заполнить нулями:

Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Сергей.

Ответ: Борис играет на альте и кларнете, Сергей — на флейте и гобое, Виктор — на скрипке и трубе.

 Пример 4. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

 Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя — профессия — увлечение).

Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист.

Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач — Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем:

Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун.

 Пример 5. Три дочери писательницы Даша — Юлия, Анна и Лена, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Даша часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.

Известно, что:

1.   Юлия живет не в Париже, а Лена — не в Риме;

2.   парижанка не снимается в кино;

3.   та, кто живет в Риме, певица;

4.   Лена равнодушна к балету.

Где живет Анна, и какова ее профессия?

 Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание:

Далее рассуждаем следующим образом. Так как Лена живет не в Риме, то, согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Лена" и столбцу "Пение", ставим 0.

Из таблицы сразу видно, что Лена киноактриса, а Юлия и Анна не снимаются в кино.

Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Лена живет не в Париже. Но она живет и не в Риме. Следовательно, Лена живет в Чикаго. Так как Лена и Юлия живут не в Париже, там живет Анна. Юлия живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Лена киноактриса, то Анна балерина.

В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу:

Ответ. Анна балерина. Она живет в Париже.

 

 III. Решение логических задач с помощью рассуждений

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

 Пример 6. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

 Решение. Имеется три утверждения:

1.   Вадим изучает китайский;

2.   Сергей не изучает китайский;

3.   Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

 Пример 7. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: "Моя фамилия — Молотов, а фамилия Бориса — Хрущев". Антон сказал: "Молотов — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Брежнев". Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Молотов". Вадим сказал: "Моя фамилия — Брежнев, а фамилия Гриши — Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".

Какую фамилию носит каждый из друзей?

 Решение. Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как А_Б, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

1.   Д_М и Б_Х;

2.   А_М и В_Б;

3.   В_Т и Б_М;

4.   В_Б и Г_Ч;

5.   Г_Ч и А_Т.

Допустим сначала, что истинно Д_М. Но, если истинно Д_М, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит А_М и Б_М ложно. Но если А_М и Б_М ложны, то должны быть истинны В_Б и В_Т, но В_Б и В_Т одновременно истинными быть не могут.

Значит остается другой случай: истинно Б_Х. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: Б_Х истинно ® Б_М ложно ® В_Т истинно ® А_Т ложно ® Г_Ч истинно ® В_Б ложно ® А_М истинно.

Ответ: Борис — Хрущев, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Молотов, Дима — Брежнев.

 Пример 8. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:

Россия — "Проект не наш, проект не США";
США — "Проект не России, проект Китая";
Китай — "Проект не наш, проект России".

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

 Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:

Россия — "Проект не наш" (1), "Проект не США" (2);
США — "Проект не России" (3), "Проект Китая" (4);
Китай — "Проект не наш" (5), "Проект России" (6).

Узнаем, кто из министров самый откровенный.

Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

Если самый откровенный — министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.

Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, следует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.

Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее — российский, скрытнее — министр США.